Vektoren im geometrischen Anschauungsraum
Alle Punkte des dreidimensionalen geometrischen Raumes lassen sich durch Koordinaten beschreiben:
A(1/2/3) legt die Lage eines Punktes eindeutig fest. Dabei gilt
\[A(x/y/z) \equiv B(x*/y*/z*) \Leftrightarrow x = x* \wedge \,\,y = y* \wedge \,\,z = z*\]
Folgende Idee führt auf den Begriff des Vektors: Man identifiziert jeden Punkt der Ebene mit einem Pfeil, der am Ursprung beginnt und an dem Punkt endet. So erhält man eine 1:1 Zuordnung zwischen den Punkten des Raumes und allen möglichen Pfeilen.
Ein Pfeil ist dabei nicht durch seinen Anfangspunkt festgelegt, sondern durch seine Länge und seine Richtung.
Definition:
Man fasst alle Pfeile die gleich lang, parallel und gleich orientiert sind zu einer Klasse zusammen, die man einen Vektor nennt.
Ein einziger Pfeil heisst Repräsentant dieses Vektors. Oft wird zwischen Repräsentant und Vektor nicht unterschieden.
Einen Vektor kann man mit Hilfe der Differenzen der Koordinaten des Anfangs - und Endpunktes bestimmen.
In zwei Dimensionen ist das Konzept bekannt aus der Mittelstufe (Steigungsdreieck).
Beispiel:
\(A(2/3/1)\) und \(B(1/5/3)\) seien zwei Punkte. Dann schreibt man für den Vektor von A nach B
\[\vec {AB}\]
in Spaltenschreibweise
\[\vec {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2}\\{5 - 3}\\{3 - 1}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}-1\\{ 2}\\{2}\end{array}} \right)\]
Der umgekehrte Vektor (Gegenpfeil) von B nach A ergibt sich zu
\[\vec {BA} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2 - 1}\\{3 - 5}\\{1 - 3}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 2}\\{ - 2}\end{array}} \right)\]
Merke:
Offensichtlich gilt
$$ \vec {BA} = - \vec {AB} $$
Den zu einem Punkt gehörigen Pfeil bzw. Vektor nennt man auch den Ortsvektor des Punktes.
Nun ist auch anschaulich klar, wie Addieren von Vektoren definiert wird: Der Zeilenweisen Addition in dieser Spaltenschreibweise entspricht geometrisch dem Aneinanderreihen der Pfeilrepräsentanten.
Subtraktion entspricht der Addition des Gegenpfeils.
Ein Vektor sticht aus der Menge der Vektoren heraus: Ein Vektor, bei dem Anfangs - und Endpunkt identisch sind. Er besitzt die Länge Null und heisst deshalb Nullvektor.
Nun hat man alles beisammen, um Rechengesetze für Vektoren zusammenzufassen:
- Kommutativgesetz der Addition
Sind
$$ \vec {A},\vec {B} $$
zwei Vektoren, so gilt:
$$ \vec {A} + \vec {B} = \vec {B} + \vec {A} $$
- Assoziativgesetz der Addition
Sind
$$ \vec {A},\vec {B}, \vec {C} $$
drei Vektoren, so gilt:
$$ (\vec {A} + \vec {B}) + \vec {C} = \vec {A} + (\vec {B} + \vec {C}) = \vec {A} + \vec {B} + \vec {C} $$
- Nullvektor (Neutrales Element)
Für jeden Vektor
$$ \vec {A} $$
gilt:
$$ \vec {A} + \vec {O} = \vec {O} + \vec {A} = \vec {A} $$
- Inverse Elemente
Zu jedem Vektor
$$ \vec {A} $$
existiert ein Vektor (Gegenvektor)
$$ - \vec {A} $$
mit
$$ \vec {A} + (-\vec {A}) = \vec {O} $$
Dieser Gegenvektor ist einfach der parallele, gleich lange Pfeil mit entgegengesetzter Orientierung.
- Skalarmultiplikation
Die Multiplikation von Vektoren bleibt nochzu klären: Was soll man unter dem Produkt zweier Pfeile verstehen. Dieser Definition werden wir später nachgehen.
Man kann aber die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (Skalar) genau so erklären wie die Multiplikation in der 5. Klasse eingefürt wurde: Als Abkürzung für die Addition von lauter identischen Summanden:
Für \(n \in \mathbb{N}\) ist
$$\underbrace {\vec A + \vec A + \vec A + \,…\, + \vec A }_{n\,Summanden} = n \cdot \vec A $$
Achtung:
Kein Vektorpfeil über dem n (Skalar x Vektor, deshalb Skalarmultiplikation)
Anschaulich ist das Ergebnis ein Pfeil, der n mal so lang ist wie
$$ \vec {A} $$
und in dieselbe Richtung zeigt.
Dieses Konzept lässt sich leicht auf reelle Zahlen (auch negative) übertragen:
$$ r \cdot \vec {A} $$
ist ein Vektor, der dieselbe Richtung besitzt wie
$$ \vec {A} $$
aber nur die Länge \(\left| r \right|\) hat. Ist \(r<0\), so zeigt der Pfeil in die entgegengesetzte Richtung.
Für \(r=0\) erhält man den Nullvektor.